Dans le texte d'Isa, je trouve trois questions qui méritent réponse.
1- la première qui porte sur le travail en grammaire en classe :

J'ai une amie qui a deux enfants de 9 – 10 ans scolarisés en France. La maîtresse a demandé à l'un d'entre eux de souligner le "groupe verbal" dans des phrases de ce type : "le chat a mangé la souris". Le petit a souligné – logiquement je crois- "a mangé " . Il a eu une mauvaise note parce qu'il fallait souligner aussi "la souris". C'est normal ? Je demande juste des lumières car peut-être la grammaire française diffère sur ce point de celle des autres langues.

Ce n'est pas bien sûr une question de langue, mais une question de logique : ce qu'on appelle "le groupe verbal", c'est l'ensemble des mots qui dépendent du verbe.
"a mangé", c'est le verbe, chef du groupe verbal, qui, étant transitif, est suivi d'un complément sans préposition.
Si la phrase avait été : "Pierre a privé son fils de dessert", le groupe verbal eût été "a privé son fils de dessert", le verbe "priver" étant un verbe à deux compléments, le premier sans préposition (="son fils"), le second avec préposition ("de dessert")
Comme vous pouvez le voir, il y a là une description un peu plus rigoureuse du fonctionnement de la phrase, qui prend appui sur son fonctionnement et non sur son sens.
Ceci dit il faut tout de même faire remarquer la totale absence d'intérêt d'un tel exercice, qui révèle à quel point cet enseignant maîtrise mal son sujet.
Poser une telle question sur une phrase d'un intérêt aussi puissant, révélant un style et une pensée si éblouissants d'intelligence, et qui mérite assurément d'être analysée : la chat a mangé la souris, c'est n'avoir pas compris grand-chose à ce que signifie "faire de la grammaire".

Faire de la grammaire, ce n'est évidemment pas coller des étiquettes sur les mots — d'autant plus que celles qui sont officielles sont extrêmement mal fichues et sources de très grandes difficultés pour les élèves.
Faire de la grammaire, c'est répondre à la question : "Comment ça marche, la langue française ?", afin de mieux pouvoir s'en servir..
On sait qu'un ouvrier qui connaît le fonctionnement de ses outils est infiniment plus performant que celui qui sait seulement sur quel bouton il faut appuyer pour que ça marche.
Ce n'est donc pas sur ce genre de phrase que l'on va travailler, mais sur des phrases qui posent problème, et dont l'analyse va permettre d'éclairer leur fonctionnement, éclairage qui sera ensuite réinvesti dans des productions écrites véritables.
Je rappelle, pour clore la réponse à cette question, que, en français, il existe cinq types de groupes verbaux (selon le modèle très pratique proposé par N. Chomsky) :
GV —> V : Toto rit
GV —> V+GN : Toto dit des sottises
GV —> V+ GN (avec préposition) : Toto obéit à son ministre
GV —> V+ Adjectif (ou un GN jouant le même rôle) : Toto est un farceur ; Toto est rigolo
GV —> V+ GN + GN avec préposition : Toto raconte des salades aux Internautes

2- Seconde question
Comment doit-on accompagner nos enfants dans leurs apprentissages ? Faut-il que le parent propose sa version, ou bien qu'il laisse faire l'école ?
C'est à l'enseignant à expliquer de façon suffisamment claire ce qu'il fait faire en classe et le type d'aide que les parents peuvent apporter. S'il ne le fait pas, il commet un grave manquement à ses devoirs.
De toutes façons, jamais on ne doit noter un travail fait à la maison : les conditions n'étant pas les mêmes pour tous les enfants, rien n'est plus injuste et rien n'est plus grave, que d'évaluer ce genre de travail. La seule raison d'être du travail à la maison, c'est de permettre des recherches (pas faciles en classe) et des essais qui aideront le vrai travail, lequel doit être toujours fait en classe

3- Troisième question
Autre chose : si on a décidé que l'enfant doit "découvrir tout seul", pourquoi le noter ensuite ? Surtout si, avec bon sens, il se refuse de faire renter "la souris" dans le "groupe verbal".
Comme on vient de le voir, ce n'était point bon sens que confondre "verbe" et "groupe du verbe".
Il est, du reste, probable que l'enseignant n'a pas été suffisamment clair lui-même sur cette différence...

Mais surtout jamais il n'a été question que l'enfant découvre "tout seul". Cette affirmation fait partie des absurdités entendues ici et là. Il n'est d'apprentissage que construit par celui qui apprend : que cela plaise ou non, c'est ainsi. Mais cela n'a jamais voulu dire que cette construction se fait toute seule !!! Elle est rendue possible par trois conditions :
1- qu'elle se passe dans un climat de confiance et de sérénité : la dimension affective des apprentissages est la première à prendre en compte.
2- qu'elle soit organisée par l'enseignant : enseigner, c'est réunir les conditions pour que les élèves apprennent.
3- qu'elle s'effectue en classe et en petits groupes hétérogènes, qui vont permettre de partager les responsabilités de la réussite, comme de l'échec et qui, surtout vont permettre à chaque enfant de s'enrichir des différences des autres.
On a observé depuis longtemps que les enfants apprennent plus et mieux les uns des autres que des adultes.

Rien n'empêche les collègues de se renseigner davantage sur mon site : il n'est pas tout-à-fait terminé, mais il le sera à la rentrée. Je donne le lien avec le dossier "grammaire" :
http://www.charmeux.fr/grammaire.html