Voici son problème :
Après des recherches dans différents manuels de grammaire (Bescherelle, Grevisse) j'ai trouvé dans le Littré que la locution "en train de" peut avoir deux fonctions différentes, l'une adverbiale, l'autre prépositionnelle (lorsqu'elle est suivie d'un infinitif). Sur internet,
http://www.synapse-fr.com/manuels/ATTRIBUT.htm
j'ai trouvé qu'un infinitif pouvait avoir la fonction attribut du verbe être, avec l'usage d'une préposition comme dans la phrase : "cette voiture est à vendre". Donc je pense qu'on peut dire que la fonction de la locution "en train de" est prépositionnelle, et que l'infinitif "lire" est attribut du verbe "être".


Quand je pense que les tenants d'un tel charabia osent nous accuser de jargon !

Comment un infinitif pourrait-il être attribut d'un verbe, fût-il le verbe être ? Quel charabia est-ce là ?
Et que dire de la confusion entre classe de mots et fonction ? Dire qu'un mot est une préposition ou un adverbe, c'est donner la classe de mots à laquelle il appartient et cela n'a rien à voir avec sa fonction !
On reste confondus devant une grammaire qui peut conduire des étudiants — intelligents ! — à de telles bêtises...

Si au lieu de s'obstiner à mélanger le sens et le fonctionnement, on se décide à observer simplement et de façon comparative par quels moyens on comprend cette phrase, on va découvrir rapidement que les trois mots "suis" "en" "train" correspondent bel et bien à un seul verbe, le verbe s'occuper par exemple :
Question : "Que fais-tu en ce moment ?"
Réponse : "je m'occupe à lire ; je suis en train de lire"
Contrairement à la langue anglaise qui utiliserait ici une forme verbale particulière , le "présent progressif", le français, qui en est dépourvu, recourt à des locutions développées (le français aime bien les mots, et les préfère souvent aux variations de désinences), comme : être en train de.
C'est le moment, du reste, en ces temps de découverte des "Cht'is" de comparer cette expression, à celle des gens du Nord, qui eux, répondraient à cette question : "je suis en route à lire" (Dins ch'Nord, on préfère la route au train, ce qui entre parenthèses, est le droit absolu des habitants de cette région !!)
Observons que si l'on "monte" encore plus haut, juste derrière la frontière belge, c'est encore un autre type de réponse que l'on va recevoir à notre question : "je suis occupée de lire".
"occupé de..." Formule typiquement belge : j'ai souvent entendu chez mes amis de Tournai, des recommandations comme celle-ci : " Non, ne le dérangez pas : il est occupé de dormir !".

Une petite diversion s'invite ici : "être occupé de dormir", cette jolie formule renvoie au bon La Fontaine chez qui l'on trouve ("Les deux amis") :

Une nuit que chacun s'occupait au sommeil
Et mettait à profit l'absence du soleil...


S'occuper au sommeil : quelle belle occupation !!

Fermons cette parenthèse et revenons à l'analyse grammaticale.
Tout ceci, en tout cas, est la preuve que ce salmigondis d'attribut et de locutions adverbiales, proposés dans les manuels habituels, où se mélangent le sens et le fonctionnement, n'a vraiment rien à voir avec une analyse un peu rigoureuse (et même de "bon sens", pour utiliser un terme tellement à la mode !) de cette phrase, fort courante au demeurant, dont on voit bien qu'aucune de ces propositions tarabiscotées ne parvient à éclairer son fonctionnement.
La seule analyse satisfaisante de cette phrase consiste à dire que le verbe de cette phrase est ici composé des trois mots : suis en train, ce qui, en français, n'a rien d'exceptionnel, et encore moins de scandaleux.
Ce verbe a pour sujet un "embrayeur de conjugaison" (mais oui ! ne hurlez pas !) qui est JE.
Il est en effet, impossible de nommer ce mot "un pronom", même "personnel", (contrairement à "il", qui, lui, en est un) puisqu'il ne remplace aucun nom et qu'il se contente de désigner celui qui parle dans le message.
Je précise, pour les âmes sensibles, qui viennent de hurler devant le terme "d'embrayeur de conjugaison", que ce terme qui n'est pas plus affreux que celui de "complément circonstanciel de conséquence", ou celui de "complément d'objet second" et surtout qu'il ne gène nullement les enfants en classe (étant fort clair et rendant bien compte de la manière dont les mots JE, TU, NOUS, VOUS fonctionnent). J'ajoute que, de toute évidence, ce terme, bien explicité, les perturbe infiniment moins que l'amalgame entre "remplacer un mot" et "désigner l'un des pôles de la communication".
Comme on dit aujourd'hui : "bonjour la rigueur du vocabulaire !"

Pour être tout à fait complet dans l'analyse de notre phrase, ajoutons que les mots "de lire", jouent ici le rôle très normal de "complément du verbe", rattaché à celui-ci par la préposition "de". On évitera de parler de "complément d'objet" : les objets n'ayant strictement rien à voir dans cette histoire, et ayant surtout pour effet, sans apporter la moindre information, de détourner l'attention des élève de ce qui est l'essentiel d'une observation grammaticale : comment les mots sont reliés les uns aux autres et comment cette relation a permis de comprendre ce qui est dit.
Un grammairien de mes amis avait coutume de dire : "La grammaire que nous connaissons consiste uniquement à poser des étiquettes mal fichues sur des éléments de phrases mal découpés. C'est comme si on sortait toutes les pièces d'un moteur de voiture et que l'on demande aux apprentis mécaniciens uniquement de poser dessus les bonnes étiquettes prédécoupées, sans s'occuper de ce qui se passe quand la voiture roule. "
Mais il est vrai que savoir ce qui se passe quand la voiture roule, pourquoi elle peut rouler et surtout grâce à quoi, c'est un pouvoir redoutable, qui vous met largement à l'abri des abus des autres pouvoirs... Il faut donc admettre que cela confére une liberté qu'il n'est peut-être pas bon de donner à tous.
Une grammaire qui n'a ni sens ni utilité, mais dont il faut connaître par cœur les règles, si discutables soient-elles, ça occupe le menu peuple... qui ne pense pas à autre chose pendant ce temps-là....